实 数 与 数 轴

中山市三乡镇初级中学  林翔燕

一、    教学设计：

1、  指导理论新数学课程标准：

本节课是以《数字课程标准》依据设计完成的，它体现了以下基本理念：

（1） 学生是学习的主人，教师是学习的组织者，引导者和合作者。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动过程。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样的学习需求，有效的数学活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

（2） 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，把学习的主动权交给学生，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

2、  设计思路：

（1）、学生对为什么把有理数扩充到实数，扩充的必要性是什么常会产生疑问。在教学设计中结合复习有理数的知识指出从算术中的数扩充到有理数的必要性，通过拼图活动让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。重点突出本节课的拼图活动以及相应数学问题的讨论。

（2）、由于在研究过程中需要学生了解无理数及实数的意义，如果学生只是通过按计算器来求的值得到的纯粹是一连串的数字，并不能真正体会到老师的用意，更加体会不到“数已不够用了”。因此在课程的顺序安排上，先布置学生在课前准备两个边长为1的正方形，让学生在堂上完成一个剪纸拼图活动。目的是给予学生适当的活动空间，让他们通过自己动手实践、自主探索发现解决问题的方法，并且通过交流澄清自己的想法，提高知识的传真性，使知识获得更多。

     在此基础上引入“无理数”的内容，第二部份在证明“a不是有理数”的内容中安排学生对问题展开讨论，目的是让学生学会推理、论证与表达。同时让学生在不经意间复习新旧知识。第三部份是通过数形结合使学生了解实数与数轴上的点具有一一对应关系。

     本节课是实数与数轴的第一部份的内容，因此应属于第一课时。

教学目标

1.   目标要求：

    （1）、了解无理数及实数的意义，会把给出的实数按要求进行归类；

    （2）、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；

（3）、会估计两个实数的大小。

 2 . 重点：了解实数意义，能对实数进行分类及对“实数与数轴上的点一一对应”的理解

难点：用数轴上的点来表示无理数

二、    教学过程及课堂实录

1．  新课引入

片段一：

师：同学们，老师课前叫你们准备两个边长为1的小正方形，准备好了吗？

生（齐答）：准备好了！（全体学生把手中的小正方形举起来）

师：怎么大小不一样呀？（学生踊跃回答）

生1：因为只要求边长为1个单位，但是多长为1个单位并没有固定。

师：对了，我们只要求正方形的边长为1，但是多长为1个单位并没有具体规定，所以同学们剪出来的正方形就有大有小了。

     师：下面大家看展示屏：剪一剪，拼一拼，把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形。（如图一）。

 （学生自由组成小组，开始剪纸拼图活动。）

（开放的问题激起了学生的探究热情，学生通过动手剪纸、拼图和激烈的讨论，得出了多种方案。接下来，请两名学生上黑板演示）

     生1：（边演示边解说）我是把两个小正方形沿着对角线剪成4个小三角形，再把原小正方形的边拼在一起，就可拼成一个大的正方形。（如图二所示）

生2：（边演示边解说）我是把其中一个小正方形分成4个小直角三角形，另一个小正方形不动，然后这样拼起来（如图三所示），也能拼成一个大正方形

     师：这两位同学的拼法非常好，还有没有其它拼法？（学生踊跃举手）

 生3：把其中一个小正方形沿对角边剪成两个小三角形，再把另一个小正方形剪成4个小三角形，然后把两个较大的三角形拼成一个大三角形，最后把4个小三角形填补在空位上，就拼成一个大正方形（如图四所示）。

 师：好，这种拼法很有创意。还有没有？（一名女生举手）

     师：哦，××同学课前做了准备，已把自己想的4种拼图方案贴在纸上了。她的前三种和前面三位同学的拼法是一样的，但是最后一种就与众不同了。（如图五所示）

     师：××同学展示了很丰富的想像力，真了不起！

（顿时掌声响起。适时给予鼓励评价，有助于提高学生的自信和进取的欲望）

      创设问题情景，导入实数的概念

片段二：

     师：同学们看一看老师的拼法（大屏幕图六展示），老师的拼法是第一种。

师：看大屏幕的问题。议一议：设大正方形的边长为a，a满足什么条件？

（学生开始思考并相互小声讨论、交流意见。五分钟后提问）

     生4：我认为     

     师（问）：为什么？

     生4：因为a是大正方形的边长，而大正方形是由两个面积为1的小正方形拼成，所以说面积等于2。又因为正方形的面积是边长的平方，所以。

     师：他说得好不好？

     生（齐答）：好！

     师：因为大正方形是由两个小正方形拼成的，无论怎么拼，拼完后大正方形的面积都是，所以。

（让学生求出拼图的面积，渗透了转化思想，盛悟转化的方法，为引出无理数的意义做好准备。）

     师：还有没有其它想法？（鼓励学生积极思考，大胆发言）

     生5：因为4个小直角三角形的两直角边分别为1，而斜边等于a，由勾股定理得 。

师：说得好 。

（不同的数学知识之间是互相联系的，而强调新旧知识的联系是我们教学的重心。这个教学过程让学生在不经意间复习了旧知识。）

片段三：

     师：那么由算术平方根可得，用什么方法求的值？其结果如何？

 （一片寂静，学生都在认真思考）

     生（部分齐答）：用计算器可求得

师：能利用平方关系验算所得的结果吗？

     生6：能。用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999。

     师：验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题？

     生6：这说明求得的的值只是一个近似值。

     师：如果用计算机算后，结果如何呢？

（指导学生阅读页计算结果，学生通过阅读自学，对课本上的表述表示认同，并从中体会了自己发现新知识的乐趣）

     生7：在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2。

     师：那么是怎样的数呢？是不是我们以前学过的有理数呢？

（引导学生回顾有理数的概念）

     师：请你随意写出三个分数，将它化成小数看一看结果，你可得到什么结论？

     生8：任何一个分数写成小数的形式必定是有限小数或者无限循环小数，所以不是有理数。

     师：还有没有其他的数不是有理数？为什么？

     生（不约而同）：有，、、…。因为它们的计算结果都是无限不循环小数。

（在这个教学环节中大胆放手，创设情景，鼓励学生大胆猜想，然后让学生想办法进行验证。）

3．试一试

片段四：

     师：按照计算器显示的结果，你能想像出在数轴上的位置吗？

     生（齐答）：能。

     生9：因为边长为1的正方形的对角线长是，所以在数轴上以原点为起点向右量一线段等于小正方形的对角线的长，那么另一个端点表示的数就是。

（这一过程学生讲，老师用电脑演示作图过程）

 (反思提高,用电脑展示问题)

     问题1：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

     问题2：如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

（让学生充分思考交流后，引导学生归结为：如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满。）

 师：接下来，请大家阅读课本例题，然后完成课本基本练习。

4．  小结

（1）       什么叫做无理数？

（2）       什么叫做实数？

（3）       有理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？

（4）       无理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？

（5）       实数与数轴上的点一一对应吗？为什么？

5．  作业

（1）       在下列数中：…

有理数是­­­­­­­­­­­­­­­­­­________________,无理数是__________________

正数是__________________,负数是____________________

（2）       在数轴上作出的对应点。

（3）       比较下列各组中两个实数的大小：

      与         与

三、    教学反思

    本节课我主要通过创设开放性探索情景，引导学生自主探索与合作交流。教师在教学中应鼓励和提倡解决策略的多样化，问题情景的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽可能地让所有学生自己都能主动参与，提出解决问题的方法，并通过与他人的交流选择最佳方法，积淀学生自己的数学活动的经验，提高思维水平。如拼图活动中，有的学生只想到一、两种方案，但有的学生一个人就能想出4种方案。事实证明，把探究性学习方法引导到课堂上，大大提高了学生积极性和动手能力，促进学生多思考多动手，使学生成为学习的主人，让学生亲身经历知识的形成与发展过程。由示教学过程安排了剪纸拼图活动，可能在时间上显得较紧，所以适当安排好时间在教学过程事关重要。